Elementarne funkcije

Racionalne funkcije

Pojam racionalne funkcije

Funkcija
$R_{(x)}=\frac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}, x\in R$\$\{x\in R|Q_{m}(x)=0\},$
Gde su $P_{n}(x)$ i $Q_{m}(x)$ polinomi stepena $n$ odnosno $m$, naziva se racionalna funkcija.

Racionalne funkcije ("polinom kroz polinom") po nastanku su nalik racionalnim brojevima ("celi broj kroz celi broj"). Sledom te sličnosti se definišu prave i neprave racionalne funkcije (kao što je $\frac{3}{4}$ pravi, a $\frac{7}{2}$ nepravi razlomak).

Definicija: Racionalna funkcija $R_{(x)}=\frac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}$ je prava ako je $n < m$, u protivnom je neprava.
Primeri pravih racionalnih funkcija: $f(x)=\frac{-4x+2}{x^{3}-3x^{2}+2x}, f(x)=\frac{-x^{2}+3x+4}{x^{3}-4x^{2}+4x}$...

Dakle, prave racionalne funkcije su one racionalne funkcije za koje je stepen polinoma u brojiocu strogo manji od stepena polinoma u imeniocu.
Analogno sa izdvajanjem celog broja iz nepravog razlomka, nepravoj racionalnoj funkciji se deljenjem brojioca imeniocem može izdvojiti celi deo, polinom stepena $(n–m)$.

Osnovna svojstva i karakteristike:
Domen racionalne funkcije $R_{(x)}=\frac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}$ je $R$\$\{x\in R, Q(x)=0\}$, tj. svi realni brojevi osim nula-tačaka imenioca.
(Smatramo da je racionalna funkcija već skraćena, tj. da ne postoji $x_{0}\in R$ koji je nula i brojioca i imenioca)
Kodomen je skup R
Nule racionalne funkcije su nule njenog brojioca. Dakle, $f(x)=\frac{P_{n}(x)}{Q){m}(x)}=0$ ako i samo ako je $P_{n}(x)=0$.

Za određenu kombinaciju stupena brojioca i imenioca, kao i u tačkama u kojima se imenioc poništava, racionalna funkcija pokazuje ponašanje koje nismo nalazili kod polinoma - grafik racionalne funkcije može imati asimptote. Asimptota neke krive je prava linija kojoj se ta kriva(funkcija) približava u beskonačno dalekoj tački.
Nule polinoma u imeniocu racionalne funkcije zovemo njenim polovima. Racionalna funkcija ima vertikalne asimptote u nulama imenioca.
Racionalna funkcija ima horizontalne asimptote (istovremeno levu i desnu) onda i samo onda ako je stepen brojioca manji ili jednak stepenu imenioca. Ako je stepen brojioca manji od stepena imenioca, racionalna funkcija ima horizontalnu asimptotu $y=0$. Ako je stepen brojioca jednak stepenu imenioca, racionalna funkcija ima horizontalnu asimptotu $y = c$, gde je $c$ jednak količniku vodećih koeficijenata polinoma u brojiocu i imeniocu.
Ako je stepen brojioca za jedan veći od stepena imenioca, racionalna funkcija ima kosu asimptotu (istovremeno levu i desnu). Ako je stepen brojioca barem za dva veći od stepena imenioca, racionalna funkcija nema horizonatlnih i kosih asimptota.

Kako skicirati grafik racionalne funkcije $f(x)=\frac{P_{n}(x)}{Q){m}(x)}$?
1. Odrediti nule funkcije $f$
2. Odrediti polove funkcije $f$ i u njima nacrtati vertikalne pravce, koje zovemo vertikalnim asimptotama funkcije.

Posebno značajni primeri racionalnih funkcija su elementarne racionalne funkcije $$\frac{A}{(x-a)^{j}}, j\in N$$ $$\frac{Ax+B}{(x^{2}+px+q)^{k}}, k\in N$$ gde su nule polinoma $x^{2}+px+q$ konjugovano-kompleksne.