Размотримо прво један од основних појмова који се јављају у комбинаторици. Факторијел ћемо користити приликом дефинисања пермутација, варијација и комбинација, а самим тим ћемо га користити и приликом решавања задатака.
Дефиниција: Факторијел неког природног броја $n$ је производ свих природних бројева који су мањи или једнаки њему. Ознака је $n!,$ а формула по којој се одређује је: $$n!=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot\ ...\ \cdot 2\cdot 1.$$
Дакле, уколико се тражи факторијел броја $8,$ по дефиницији добијамо: $$8!=8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=40320.$$ Приметимо да такође, на основу једнакости $$n!=n\cdot \underbrace{(n-1)\cdot (n-2)\cdot\ ...\ \cdot 2\cdot 1}_{(n-1)!}$$ важи $$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n!=n\cdot (n-1)!. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$$ Уколико бисмо у једнакост $(1)$ уврстили $n=1$ добили бисмо једнакост $$1!=1\cdot(1-1)!.$$ Даљим сређивањем добијамо $1=1\cdot0!,$ односно $1=0!.$ Дакле, по дефиницији користимо $$0!=1.$$ Следећи програм израчунава факторијел прозвољног природног броја $n.$
Пример 1. Одредити вредност израза $\ \displaystyle \frac{6!-5!}{120}.$
Решење: У овом примеру користимо једнакост $(1)$ и издвајамо заједнички чинилац
испред заграде у бројиоцу како бисмо што лакше дошли до решења.
$$\frac{6!-5!}{120}=\frac{6\cdot5!-5!}{120}=\frac{5!\cdot(6-5)}{5!}=(6-1)=5$$
Пример 2. Скратити разломак $\ \displaystyle \frac{n!}{(n+1)!-n!}.$
Решење: Користимо исту идеју приликом решавања овог примера.
$$\frac{n!}{(n+1)!-n!}=\frac{n!}{(n+1)\cdot(n!)-n!}=\frac{n!}{n!\cdot(n+1-1)}=\frac{1}{n}$$
Пример 3. Решити једначину $\ \displaystyle \frac{(x+2)!}{(x-1)!}=120,\ x\in \mathbb{N}.$
Решење: Коришћењем једнакости $(1)$ добијамо једначину
$$\frac{(x+2)(x+1)x(x-1)!}{(x-1)!}=120,\ \mbox{тј.}$$
$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \
(x+2)(x+1)x=120.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)$$
Једначина $(2)$ је еквивалентна једначини
$$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
x^3+3x^2+2x-120=0.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3)$$
Означимо полином $x^3+3x^2+2x-120$ са $P(x),$ тј.
$$P(x)=x^3+3x^2+2x-120.$$
Како је $P(4)=0,$ онда је $x=4$ нула полинома $P(x),$ па се може закључити да је полином $P(x)$ дељив са полиномом $x-4.$
Дељењем се добија:
$$(x^3+3x^2+2x-120):(x-4)=x^2+7x+30.$$
Дакле, важи $P(x)=(x-4)(x^2+7x+30).$ Како за дискриминанту $D$ квадратне једначине $x^2+7x+30=0$ важи $D<0,$ једначина нема
реалних решења. Дакле, једино решење једначине $(2)$, а
самим тим и почетне једначине, је $x=4.$
Напоменимо још да $n!!$ није исто што и $(n!)!.$ Двоструки факторијел се дефинише на следећи начин.
Дефиниција: Двоструки факторијел неког прирпдног броја $n,$
у ознаци $n!!,$ представља производ свих парних бројева који су мањи или једнаки њему или
производ свих непарних бројева који су мањи или једнаки њему. Дакле, за
$n=2k,\ (2k)!!=2\cdot4\cdot\ .\ .\ .\ \cdot(2k),$ а за
$n=2k+1,\ (2k+1)!!=1\cdot3\cdot\ .\ .\ .\ \cdot(2k+1).$
Тако је на пример $6!!=2\cdot4\cdot6=48,\ $ док је $7!!=1\cdot3\cdot5\cdot7=105.$
Следећи програм одређује двоструки факторијел произвољног природног броја $n.$
