1. Duž

Duž AB se definiše kao skup svih tačaka između datih tačaka A i B, uključujući i krajnje tačke A i B.

1.1. Rastojanje između dve tačke

Neka su date tačke A(x₁,y₁) i B(x₂,y₂). Rastojanje između tačaka A i B se računa primenom formule:

$$\left|\mathrm{AB}\right|=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}. (1)$$

Ako se uoči tačka C(x₂,y₁), tada je trougao ABC pravougli. Kada se na njega primeni Pitagorina teorema, dobija se formula (1).

Ukoliko tačke A i B imaju jednake apcise one se nalaze na pravoj paralelnoj y-osi. Tada se rastojanje između tačaka A i B izračunava primenom formule:

|AB| = |y₂ - y₁|.

Ukoliko tačke A i B imaju jednake ordinate one se nalaze na pravoj paralelnoj x-osi. Tada je njihovo rastojanje:

|AB| = |x₂ - x₁|.

Primer

Dokazati da je trougao ABC pravougli ako su njegova temena A(1, -1), B(7, -3) i C(5,1).

Rešenje

Prvo treba izračunati dužine stranica trougla, a zatim proveriti da li za njih važi Pitagorina teorema.

|AB| = √(-3 - (-1))² + (7-1)²

|AC| = √(1 - (-1))² + (5-1)²

|BC| = √(1 - (-3))² + (5-7)²

|AB| = √40

|AC| = √20

|BC| = √20

AB² = AC² + BC²

( √40 )² = ( √20 )² + ( √20 )²

40 = 20 + 20

40 = 40

Zaključak: Trougao ABC je pravougli.

Zadaci

1. Data su temena trougla A(3,2), B(-1,-1) i C(11, -6). Odrediti dužine njegovih stranica.

2. Odrediti tačku koja je podjednako udaljena od tačaka A(0,4) i B(5,3), a njeno rastojanje od y-ose je dva puta veće nego rastojanje od x-ose.

3. Data su dva temena paralelograma A(-2, -4) i B(2, -1) i presek dijagonala S(0,0). Naći koordinate preostala dva temena i dokazati da je ovaj paralelogram romb.

1.2. Podela duži u datom odnosu

Neka su date dve različite tačke A(x₁,y₁) i B(x₂,y₂). Podeliti duž u odnosu m:n znači odrediti tačku C(x,y) koja pripada duži AB, takvu da je |AC|:|CB| = m:n.

Koordinate tačke C se dobijaju primenom sledeće formule:

$$x=\frac{n{x}_1+m{x}_2}{m+n},y=\frac{n{y}_1+m{y}_2}{m+n} (2)$$

Formula (2) se može uprostiti koristeći \lambda =\frac{m}{n} i tada je tačka C određena sledećom formulom:

U specijalnom slučaju m=n, tačka C predstavlja središte duži AB i ima koordinate:

$$C(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}).$$

Primer 1

Odrediti koordinate težišta trougla ABC određenog tačkama A(x₁, y₁) , B(x₂, y₂), C(x₃, y₃).

Rešenje

Neka je težište trougla ABC tačka T(x₀, y₀). Ako sa A₁(x, y) označimo središte duži BC, tada tačka T deli duži AA₁ u odnosu 2:1 (na osnovu osobine težišta trougla). Tada je:

$$A_1(\frac{x_2+x_3}{2},\frac{y_2+y_3}{2}),$$

$$T(\frac{x_1+2x}{1+2},\frac{y_1+2y}{1+2}).$$

Dobijamo sledeće:

$$T=(\frac{x_1+2\frac{x_2+x_3}{2}}{3},\frac{y_1+2\frac{y_2+y_3}{2}}{3}),$$

odnosno koordinate težišta trougla ABC su:

$$T(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3}).$$

Primer 2

Date su tačke A(1,1),B(6,-4) i C(7,1). Odrediti koordinate tačke D koja deli duž AB u odnosu 2:3, a zatim naći koordinate tačke E koja polovi duž CD.

Rešenje

Neka je \lambda =\frac{2}{3} Koordinate tačke D se dobijaju po formuli ako se tačke A i B posmatraju kao A(x₁,y₁) i B(x₂,y₂).
Dobijamo da su koordinate tačke D(3,-1).
Kako tačka E polovi duž CD, ako se tačke C i D posmatraju kao C(x₁,y₁) i D(x₂,y₂), tačka E se dobija primenom sledeće formule: E(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}) Tada su koordinate tačke E(5,0).

Zadaci

1. Duž AB, gde je A(-3,-2) i B(9,10), podeliti:
a) tačkom D u odnosu 5:7;
b) na tri jednaka dela;
v) na tri dela koja se odnose kao 1:2:3.

2. Težište trougla ABC poklapa se sa koordinatnim početkom, tačke A i B imaju koordinate A(6,0) i B(0,-2). Odrediti koorfinate temena C.

3. Tačke M, N i P su središta redom stranica AB, BC i CA trougla ABC. Odrediti koordinate temena trougla ako je M(7,8), N(-4,5) i P(1,-4).

1.3. Površina trougla

Ako su data temena A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) trougla ABC, površina tog trougla se izračunava primenom formule

$$P=\frac{1}{2}\left|x_1\right(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2\left)\right| (3)$$

Primer 1

Odrediti tačku C na y-osi tako da je površina trougla ABC, gde je A(-1,2) i B(2,3), jednaka 10.

Rešenje

Ako je C(0,y) tražena tačka na y-osi, tada je prema formuli (3):
10= \frac{1}{2} |(-1)(3-y)+2(y-2)+0(2-3)|,
odakle je |3y-7|=20.
Iz poslednje jednačine je 3y-7=±20, što daje dva rešenja: y=- \frac{\mathrm{13}}{3} ili y=9.
Postoje dve tačke koje zadovoljavaju traženi uslov i to su C₁(0,- \frac{\mathrm{13}}{3}) i C₂(0,9).

Primer 2

Odrediti površinu trougla ABC, ako su data njegova temena A(-1,-2), B(2,-1) i C(3,3).

Rešenje

Primenjujući formulu $$P=\frac{1}{2}\left|x_1\right(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2\left)\right|$$ dobija se da je površina trougla ABC jednaka 5,5. Za date koordinate tačaka, ali i za bilo koje druge koordinate, površina trougla ABC se moze izračunati i unošenjem koordinata tačaka u predviđena polja u GeoGebra apletu.

Zadaci

1. Izračunaj površinu četvorougla ABCD ako su data temena A(1,3), B(-2,0), C(5,3) i D(-3,4).

2. Dva temena trougla su A(6,3) i B(9,-6), a središte stranice AC je tačka D(-3,0). Kolika je površina trougla ABC?

3. Date su tačke A(1,3), B(4,7), C(2,8) i D(-1,4). Dokazzati da je četvorougao ABCD paralelogram i odrediti dužinu visine koja odgovara stranici AB.