Analitička geometrija u ravni za treći razred srednje škole

1. Duž

1.1. Rastojanje između dve tačke

1. AB=5, BC=13, CA= $8 \sqrt{2} .$
2. C(2,1).
3. C(2,4), D(-2,1), AB=BC=5.

1.2. Podela duži u datom odnosu

1. a) D(2,3); b) M(1,2), N(5,6); v) M(-1,0), N(3,4).
2. C(-6,2).
3. A(12,-1), B(2,17), C(-10,-7).

1.3. Površina trougla

1. P=8.
2. P=90.
3. h=2,2.

2. Prava

2.2. Eksplicitni oblik

1. a) $m = \frac{4}{3}$ ; b) $m = \frac{1}{3}$ ;
2. $y = x + 6 .$
3. a) $\frac{π}{4}$ ; b) $\frac{3 π}{4}$ ; v) $\frac{2 π}{3}$ ; g) $\frac{π}{4}$ .

2.3. Segmentni oblik

1. a) $\frac{x}{2} + \frac{y}{1} = 1$ ; b) $\frac{x}{- 3} + \frac{y}{2} = 1$ ; v) $\frac{x}{3} + \frac{y}{1} = 1$ ; g) $\frac{x}{1} + \frac{y}{4} = 1$ .
2. a) 2; b) 1,5; v) ±4.
3. m=1, n=-1.

2.4. Normalni oblik

1. a) $- \frac{5}{13} x + \frac{12}{13} y - 2 = 0;$ b) $\frac{4}{5} x + \frac{3}{5} y - 1 = 0;$ v) $- \frac{3}{5} x + \frac{4}{5} y - \frac{3}{2} = 0 .$
2. a) p=2; b) p= $2 \sqrt{2};$ v) p= $\sqrt{5} .$

2.5. Jednačina prave kroz datu tačku

1. a) $x - y - 1 = 0$ ; b) $x + y + 5 = 0$ .
2. a) $3 x - y - 1 = 0$ ; b) $2 x + y = 0$ ; v) $x - y = 0$ ; g) $x \sqrt{3} - 3 y = 0$ .

2.6. Jednačina prave kroz dve tačke

1. $3 x + 5 y - 4 = 0$ .
2. AC: $13 x - 7 y + 17 = 0$ , BD: $x - 3 y + 11 = 0$ .
3. AA₁: $11 x + 2 y - 1 = 0$ , BB₁: $x - 8 y + 19 = 0$ ; CC₁: $13 x - 14 y + 37 = 0$ .
4. C(3,8).

2.7. Uzajamni položaj pravih

1. $\frac{π}{4}$ ; b) $\frac{π}{2}$ ; v) 0.
2. 90°, 45°, 45°.
3. a) $x + 3 y + 1 = 0$ ; b) $x + y + 1 = 0$ .
4. CA=BA= $\sqrt{50}$ .

2.8. Pramen pravih

1. $x - 3 y + 1 \pm \sqrt{2} (2x+y+3)=0$ .
2. $63 x - 28 y + 172 = 0$ .
3. $x + y + 5 = 0$ .
4. a) $7 x - 9 y - 1 = 0$ ; b) $x + 2 y - 11 = 0$ ; v) $3 x + y - 13 = 0$ .

2.9. Rastojanje između tačke i prave

1. m=±2.
2. h_a=5, h_b= $\frac{5 \sqrt{5}}{2}$ , h_c=5.
3. $8 x - 12 y + 11 = 0$ .
4. P= $\frac{49}{4}$ .
5. $4 x + 3 y - 12 = 0$ .

3. Krive drugog reda

3.1. Kružnica

1. ${(x - 3)}^{2} + {(y + 6)}^{2} = 20$ .
2. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 32$ .
3. ${(x - 6)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 25$ .
4. ${(x - 7)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 16$ .
5. ${(x + 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 10$ .
6. $x + y - 2 = 0$ .
7. $x^{2} + y^{2} - 8 y = 0$ .
8. P=12.

3.2. Kružnica i prava

1. $4 x - 3 y + 23 = 0$ , $4 x - 3 y - 27 = 0$ .
2. $x + 3 y - 25 = 0$ , $x + 3 y - 5 = 0$ .
3. a) $3 x - 4 y + 14 = 0$ ; b) $4 x - 3 y = 0$ ; v) $x - y + 1 = 0$ .
4. Prava dodiruje kružnicu za m=2 ili m=-6, seče kružnicu za m∈(-6,2) i nema sa kružnicom zajedničkih tačaka za m∈(-∞,-6)∪(2,+∞).
5. ${(x + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 20$ .
6. 90°.
7. $x + 2 y + 5 = 0$ .

3.3. Dve kružnice

1. a) Kružnice su jedna van druge; b) Kružnice se dodiruju spolja; v) kružnice se dodiruju iznutra; g) kružnice se seku; d) jedna kružnica leži u drugoj;
đ) kružnice su koncentrične.
2. ${(x + 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 25$ .
3. d=2.
4. ${(x - 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 4$ .
5. a) 30°; b) 90°.

3.4. Elipsa

1. $4 \sqrt{3}$ .
2. r₁= $\frac{13}{3}$ , r₁: $5 x + 12 y + 10 = 0$ , r₂= $\frac{5}{3}$ , r₂: $x - 2 = 0$ .
3. M₁(- $\frac{15}{2}$ , $\frac{3 \sqrt{7}}{2}$ ), M₂(- $\frac{15}{2}$ , - $\frac{3 \sqrt{7}}{2}$ ).
4. $68 \frac{4}{7}$ .
5. P=16.
6. a= $\frac{12}{5} \sqrt{5}$ .
7. P= $\frac{27}{2}$ .

3.5. Elipsa i prava

1. a) $x - 2 y - 8 = 0$ ; b) $2 x + y - 7 = 0$ ; $x + 3 y - 8 = 0$ .
2. a) $3 x + 4 y - 24 = 0$ , $3 x - 28 y - 120 = 0$ ; b) $y = 4$ , $16 x - 15 y - 100 = 0$ ; v) $2 x + 3 y - 25 = 0$ , $- 3 x + 8 y - 50 = 0$ ; g) $9 x + 5 y - 50 = 0$ , $x + 3 y + 14 = 0$ ; d) $y = 3$ , $12 x + 7 y + 51 = 0$ .
3. a) t: $x - 2 y + 4 = 0$ , n: $4 x + 2 y + 1 = 0$ , b) $4 x - 5 y - 40 = 0$ , $5 x + 4 y - 9 = 0$ .
4. a) $x + y + 3 = 0$ , $x + y - 3 = 0$ , $x - y + 3 = 0$ , $x - y - 3 = 0$ ; b) $2 x + y + 5 = 0$ , $2 x + y - 5 = 0$ , $2 x - y + 5 = 0$ , $2 x - y - 5 = 0$ .
5. P= $\frac{125}{84}$ .
6. a=4.
7. b= $\sqrt{10}$ .
8. A(2,0), B( $\frac{2}{3}$ , $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ), C( $\frac{2}{3}$ , $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ); b) t_a: x=2, t_B: $x - 2 \sqrt{2} y + 2 = 0$ , t_C: $x + 2 \sqrt{2} y + 2 = 0$ ; v) $P = 4 \sqrt{2}$ .
9. 45° i 90°.
10. 24x²+40y²=960.
11. a) |n|<5, b) |n|=5, v) |n|>5.
12. Arctg 18.
13. y=±x±5.

3.6. Hiperbola

1. $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ .
2. 5, 4, (± $\sqrt{41}$ ,0), (±5,0), 5y±4x=0; b) $\frac{1}{5}$ , $\frac{1}{4}$ , (± $\frac{\sqrt{41}}{20}$ ),0), (± $\frac{1}{5}$ ,0), 4y±5x=0; v) 4, 2, (± $2 \sqrt{5}$ ,0), (±4,0), 2y±x=0.
3. x²-2y²=2.
4. 3x²-y²=9.
5. a) $\frac{x^{2}}{64} - \frac{y^{2}}{36} = 1$ ; b) 2x²-9y²=18; v) $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{75} = 1$ .
6. r₁=2 $\sqrt{5}$ , r₂=4 $\sqrt{5}$ .
7. 90°.
8. P= $\frac{39}{4}$ .

3.7. Hiperbola i prava

1. a) $x - 2 y - 1 = 0$ , $x + 2 y - 1 = 0$ ; b) $5 x + 3 y - 9 = 0$ , $5 x - 3 y 99 = 0$ ; v) $2 x + y + 1 = 0$ , $7 x + 4 y + 1 = 0$ ; g) $3 x - 2 y - 6 = 0$ , $3 x + 2 y - 6 = 0$ .
2. a) D(10,3), $5 x - 6 y - 32 = 0$ ; b) D(-5,-9), $5 x - y + 16 = 0$ ; v) D(5,-4), $x + y - 1 = 0$ ; d) $x - y - 2 = 0$ .
3. $8 x + \sqrt{11} y - 20 = 0$ , $8 x - \sqrt{11} y - 20 = 0$ .
4. a=4, b=2, P=8 $\sqrt{3}$ .
5. $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{1} = 1$ .
6. D(- $\frac{5}{3}$ , $\frac{4}{3}$ ), d=8 $\sqrt{2}$ .

3.8. Parabola

1. y²=12x.
2. a) r=12; b) r=6.
3. a) C(-4,6), prava dodiruje parabolu; b) prava i parabola nemaju zajedničkih tačaka.
4. A(1,-2), B(4,4), P=6.

3.9. Parabola i prava

1. $x + y + 2 = 0$ , $x - 2 y + 8 = 0$ .
2. $x - y + 1 = 0$ .
3. P(6,4 $\sqrt{6}$ ), Q(6,-4 $\sqrt{6}$ ), tg φ= $\frac{\sqrt{6}}{6}$ .
4. $3 x + 2 y + 1 = 0$ .
5. > $3 x + 2 y + 1 = 0$ .
6. P=20.
7. $x + 3 y + 15 = 0$ , $x - 3 y + 15 = 0$ .

4. Rešenja zadataka