3. Krive drugog reda

3.1. Kružnica

Kružna linija (kružnica) se definiše kao skup svih tačaka u ravni koje su podjednako udaljene od jedne fiksirane tačke (centra kružnice).

Ako je C(p,q) centar kružnice, stalno rastojanje (poluprečnik kružnice) r, a M(x,y) proizvoljna tačka kružnice, tada je d(C,M) = r ili

\sqrt{{(x-p)}^2+{(y-q)}^2}=r

odakle je:

{(x-p)}^2+{(y-q)}^2=r^2 (13)

i to je kanonska jednačina kružne linije sa centrom C(p,q) i poluprečnikom r.

Ako se centar kružne linije poklapa sa koordinatnim početkom, tj. važi C(0,0), jednačina kružne linije ima oblik:

x^2+y^2=r^2 (14)

Svaka kružna linija u ravni ima kanonsku jednačinu koja posle sređivanja postaje:

x^2+y^2-2px-2qy+p^2+q^2-r^2=0

i ona je specijalan slučaj sledeće opšte jednačine drugog stepena:

A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=0

Ova jednačina samo pod određenim uslovima predstavlja jednačinu kružne linije. Mora da važi sledeće:

B=0 ,   \frac{A}{1}=\frac{C}{1}=\frac{D}{-2p}=\frac{E}{-2q}=\frac{F}{p^2+q^2-r^2}=\lambda \ne 0 ,

odakle se dobija A=C=\lambda \ne 0, pa posle deljenja koeficijentom A jednačina postaje:

x^2+y^2+\frac{D}{A}x+\frac{E}{A}y+\frac{F}{A}=0,

tj. da bi se formirali kvadrati binoma kao u kanonskoj jednačini:

$$x^2+\frac{D}{A}x+\frac{D^2}{4A^2}+y^2+\frac{E}{A}y+\frac{E^2}{4A^2}+$$ $$\frac{F}{A}-\frac{D^2}{4A^2}-\frac{E^2}{4A^2}=0$$,

x^2+\frac{D}{A}x+\frac{D^2}{4A^2}+y^2+\frac{E}{A}y+\frac{E^2}{4A^2}+\frac{F}{A}-\frac{D^2}{4A^2}-\frac{E^2}{4A^2}=0,

ili

{\left(x+\frac{D}{2A}\right)}^2+{\left(y+\frac{E}{2A}\right)}^2=\frac{D^2+E^2-4AF}{4A^2}.

Da bi ova jednačina predstavljala jednačinu kružne linije, broj na desnoj strani mora da bude pozitivan, tj. mora da bude ispunjen uslov:

D^2+E^2-4AF>0.

Dakle, jednačina A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=0 predstavlja kružnu liniju ako i samo ako je: B=0, A=C\ne 0, D^2+E^2-4AF>0.

Njen centar je \left(-\frac{D}{2A},-\frac{E}{2A}\right), a poluprečnik je r=\frac{1}{2\left|A\right|}\sqrt{D^2+E^2-4AF}.

Primer

Odrediti jednačinu kružne linije koja sadrži tačke A(7,1), B(5,5), C(-2,4).

Rešenje

Dati problem se može rešiti na dva načina. Jedan je da se, zamenjujući koordinate tačaka A,B i C u jednačinu kružne linije, dobije sistem od tri jednačine sa tri nepoznate p,q,r. Dobija se:

{(7-p)}^2+{(1-q)}^2=r^2\wedge {(5-p)}^2+{(5-q)}^2=r^2 \wedge {(-2-p)}^2+{(4-q)}^2=r^2,

odnosno, posle sređivanja:

p^2+q^2-\mathrm{14}p-2q+\mathrm{50}=r^2\wedge p^2+q^2-\mathrm{10}p-\mathrm{10}q+\mathrm{50}=r^2 \wedge p^2+q^2+4p-8q+\mathrm{20}=r^2.

Ako se prva jednačina ovog sistema oduzme od druge jednačine, a zatim i od treće jednačine, dobija se sistem linearnih jednačina po p i q:

4p-8q=0\wedge \mathrm{18}p-6q-\mathrm{30}=0.

Ovaj sistem ima jedinstveno rešenje (p,q) = (2,1) i to je centar tražene kružne linije. Ako se nađene vrednosti za p i q zamene u bilo koje od tri polazne jednačine sistema po p,q,r nalazi se da je r^2=\mathrm{25}. Prema tome, jednačina kružne linije glasi {(x-2)}^2+{(y-1)}^2=\mathrm{25}.

Drugi način za rešavanje je odrediti simetrale duži AB i BC, na primer, i njihovu presečnu tačku S koja je centar tražene kružne linije, a zatim rastojanje tačke S od bilo koje od tačaka A,B,C koje je poluprečnik tražene kružne linije.

Unesite koordinate tri tačke koje određuju kružnu liniju, da biste dobili jednačinu te kružne linije.

Zadaci

1. Naći jednačinu kružne linije čiji se centar nalazi u preseku pravih 2x-y=8 i x+y=1 i koja prolazi kroz tačku P prve od ovih prava, pri čemu je apcisa tačke P jednaka 5.

2. Naći jednačinu kružne linije čiji je prečnik duž AB, gde je A(5,-1) i B(-3,7).

3. Naći jednačinu kružne linije koja dodiruje x-osu u tački (6,0) i prolazi kroz tačku (9,9).

4. Odrediti jednačinu kružne linije koja prolazi kroz tačke (11,2), (7,-2), a čiji centar pripada pravoj y=3x-\mathrm{19}.

5. Centar kruga pripada pravoj x+y=0. Naći jednačinu tog kruga ako on sadrži tačke preseka krugova {(x-1)}^2+{(y+5)}^2=\mathrm{50} i {(x+1)}^2+{(y+1)}^2=\mathrm{10}.

6. Odrediti jednačinu zajedničke tetive krugova x^2+y^2=\mathrm{10} i x^2+y^2-6x-6y+2=0.

7. Naći jednačinu kruga koji sadrži tačke preseka kruga x^2+y^2+4x-4y=0 i prave y=-x i tačku A(4,4).

8. Dat je krug x^2+y^2-4x-8y-5=0 čiji je centar tačka C. Ako krug seče x-osu u tačkama A i B, naći površinu trougla ABC.

3.2. Kružna linija i prava

Prava y=kx+n (ili x=m) i kružnica {(x-p)}^2+{(y-q)}^2=r^2 mogu imati najviše dve zajedničke tačke. U slučaju kada nemaju zajedničkih tačaka ispunjen je uslov da je rastojanje centra kružnice od date prave veće od poluprečnika kružnice.

Ako prava i kružnica imaju dve zajedničke tačke, ta prava se naziva sečica, tačke preseka se dobijaju rešavanjem sistema jednačina koji čine jednačina date prave i kružnice, i tada je ispunjen uslov da je rastojanje centra kružnice od date prave manje od poluprečnika.

Ukoliko prava i kružnica imaju tačno jednu zajedničku tačku, važi da je rastojanje centra kružnice od date prave tačno jednako poluprečniku te kružnice i ta prava se naziva tangenta.

Ako je prava y=kx+n tangenta kružnice {(x-p)}^2+{(y-q)}^2=r^2, tada važi uslov dodira prave i kružnice:

r^2\left(k^2+1\right)={(kp-q+n)}^2 (15).

U slučaju da je tangenta prava oblika x=m, ako je centar kružnice C(p,q), jednačine tangenti su x=p±r, a ako je centar koordinatni početak (0,0) jednačine tangenti su x=±r.

U slučaju kada je centar kružnice koordinatni početak, tj. jednačina kružnice x^2+y^2=r^2, uslov dodira se svodi na jednakost:

r^2(k^2+1)=n^2 (16).

Ako je T(x_o, y_o) dodirna tačka kruga i tangente, tada jednačina tangente ima oblik:

(x_o-p)(x-p)+(y_o-q)(y-q)=r^2 (17).

Ako tangente t₁ i t₂ kruga, sa dodirnim tačkama T₁ i T₂ imaju zajedničku tačku A, onda se taj krug iz tačke A vidi pod uglom φ= ∢T₁T₂.

Ugao pod kojim se seku neka prava i kružnica jeste ugao između te prave i tangente date kružnice, postavljenoj u tački preseka.

Ugao pod kojim se seku dve kružnice je ugao između njihovih tangenti, postavljenih u presečnij tački.

Primer 1

Data je prava x+2y+1=0 i kružnica x^2+y^2=5. Odrediti jednačine tangenata date kružnice koje su:
a) paralelne sa datom pravom;
b) normalne na datu pravu;
c) sa datom pravom grade ugao od 45°.

Rešenje

Prevođenjem u eksplicitni oblik dobija se koeficijent pravca date prave, a onda se iz uslova paralelnosti, normalnosti ili formule za ugao koji obrazuju data prava i tangenta dobija koeficijent pravca tangente. Koeficijent n se tada dobija iz uslova dodira (16).
U sledećem GeoGebra apletu unesite odgovarajuće podatke da biste dobili jednačine tangenti.

Primer 2

Odrediti jednačinu tangente kružnice {\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=\mathrm{25} u tački M(5,5) koja pripada kružnici.

Rešenje

Jednačina tangente se može dobiti primenom formule (17) za jednačinu tangente u tački koja pripada kružnici.
Unesite potrebne podatke u GeoGebra aplet da biste dobili jednačinu tangente.

Primer 3

Odrediti jednačine tangenata kruga konstruisanih iz tačke M(-4,3) na kružnicu x^2+y^2-2x+4y=0.

Rešenje

Data tačka pripada tangenti iz čega se može dobiti veza između koeficijenata k i n, a zatim na osnovu uslova dodira (15) se dobijaju koeficijenti i jednačine tangenti.
Unesite potrebne podatke u GeoGebra aplet da biste dobili jednačinu tangenti.

Zadaci

1. Odrediti jednačine tangenti kružnice x^2+y^2-\mathrm{10}x-\mathrm{12}y+\mathrm{36}=0 koje su paralelne pravoj 4x-3y+\mathrm{10}=0.

2. Odrediti jednačine tangenti kružnice x^2+y^2-6x-8y+\mathrm{15}=0 koje su normalne na pravu y=3x.

3. Odrediti jednačinu normale kružnice k u njenoj tački M ako je:
a) k: x^2+y^2+4x-4y-\mathrm{17}=0, M(2,5);
b) k: x^2+y^2-6x-8y+\mathrm{17}=0, M(5,6);
v) k: x^2+y^2=\mathrm{25}, M(3,4).

4. U zavisnosti od parametara m odrediti međusobni položaj kružnice x^2+y^2-\mathrm{12}x-8y+\mathrm{44}=0 i prave y=x+m.

5. Napisati jednačinu kružnice koja dodiruje dve paralelne prave 2x+y-5=0 i 2x+y+\mathrm{15}=0, pri čemu jednu dodiruje u tački A(2,1).

6. Pod kojim uglom prava y=\frac{4}{3}x seče kružnicu x^2+y^2=\mathrm{25} ?

7. Iz tačke P(2,-3) konstruisane su tangente kružnice {(x-1)}^2+{(y+5)}^2=4. Odrediti jednačinu tetive koja sadrži dodirne tačke.

3.3. Dve kružnice

Neka su k₁ i k₂ kružne linije sa centrima C₁ i C₂ u poluprečnicima r₁ i r₂.

Kružnice imaju dve zajedničke tačke kada je rastojanje između centara C₁ i C₂ manje od zbira poluprečnika, a veće od njihove razlike.

Kružnice nemaju zajedničkih tačaka kada je jedna kružnica izvan druge

ili kada je jedna kružnica unutar druge.

Kružnice imaju samo jednu zajedničku tačku ako se kružnice dodiruju spolja.

ili ako se dodiruju iznutra.

Kružnice su koncentrične ukoliko imaju isti centar.

Uzajamni položaj dve kružnice se jednostavno ispituje kada su poznate njihove jednačine.

Primer

Ispitati položaj kružnih linija x^2+y^2=5 i x^2+y^2-8x+8y+\mathrm{30}=0.

Rešenje

Centar prve kružnice je (0,0), a druge (4,-4). Odgovarajući poluprečnici su r_1=\sqrt{5} i r_2=\sqrt{2}.

Rastojanje između centara \left|C_1{C}_2\right|=\sqrt{\mathrm{16}+\mathrm{16}}=4\sqrt{2}, pa kako je 4\sqrt{2}>\sqrt{5}+\sqrt{5}, zaključuje se da ove kružnice nemaju zajedničkih tačaka.

Za ove kružnice, ali i za bilo koje druge, lako se uz pomoć GeoGebre grafički proverava njihov odnos.

Ako se dve kružnice seku, ugao između njih se definiše kao ugao između njihovih tangenti u jednoj od tačaka preseka. Specijalno, ako se dve kružne linije seku pod pravim uglom, kaže se da su one ortogonalne. Važno svojstvo ortogonalnih kružnica je da tangente svake od njih u presečnim tačkama prolaze kroz centar druge. Zato na osnovu Pitagorine teoreme za ortogonalne kružnice važi: {\left|C_1{C}_2\right|}^2={r_1}^2+{r_2}^2.

Zadaci

1. Ispitati uzajamni položaj kružnih linija:

a) x^2+y^2-2x-6y+6=0, x^2+y^2-\mathrm{10}x-8y+\mathrm{40}=0;

b) x^2+y^2-8x-\mathrm{18}y+\mathrm{93}=0, x^2+y^2-8x-8y+\mathrm{23}=0;

v) x^2+y^2=\mathrm{25}, 2x^2+2y^2-4x-3y-\mathrm{25}=0;

g) x^2+y^2-\mathrm{10}x-\mathrm{20}=0, x^2+y^2+2x-4y-\mathrm{20}=0;

d) x^2+y^2+8y+\mathrm{12}=0, x^2+y^2-2x+4y-\mathrm{20}=0;

đ) x^2+y^2-4x-2y-\mathrm{20}=0, x^2+y^2-4x-2y-4=0.

2. Odrediti jednačinu kružnice koja je koncentrična sa kružnicom x^2+y^2+6x+2y+5=0 i prolazi kroz tačku M(1,-4).

3. Izračunati rastojanje od centra kružnice x^2+y^2-2x=0 do prave određene presečnim tačkama kružnica x^2+y^2+5x-8y+1=0 i x^2+y^2-3x+7y-\mathrm{25}=0.

4. Data je kružnica x^2+y^2-4x-5=0 i tačka A(5,4). Odrediti jednačinu kružnice čiji je centar tačka A i koja dodiruje spolja datu kružnicu.

5. Pod kojim uglom se seku kružnice:

a) x^2+y^2=3 i {(x-1)}^2+y^2=4;

b) x^2+y^2=\mathrm{16} i {(x-5)}^2+y^2=9.

3.4. Elipsa

Elipsa je skup svih tačaka u ravni takav da je za svaku od njih zbir rastojanja od dveju datih tačaka konstantan.

Te dve tačke se obeležavaju sa F₁ i F₂ i zovu se žiže ili fokusi elipse. Neka je rastojanje između tačaka F₁ i F₂ jednako 2c (c≥0).
Za c=0, tj. ako je F₁ ≡ F₂ dobija se slučaj kružnice.
Neka žiže F₁ i F₂ pripadaju x-osi i neka su simetrične u odnosu na koordinatni početak, tj. neka je F₁(-c,0) i F₂(c,0). Označimo sa 2a (a>0) zbir rastojanja proizvoljne tačke elipse od žiža F₁ i F₂, koji je prema definiciji elipse konstantan.

Odnos \frac{c}{a} je numeriči ekscentrititet elipse i označava se sa e, tj. e=\frac{c}{a}.

Uz oznaku b=\sqrt{a^2-c^2} i osobinu elipse da je zbir rastojanja proizvoljne tačke M(x,y) od žiža elišse F₁ i F₂ konstantan dobija se jednačina elipse:

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.

Ovakav oblik naziva se kanonski oblik jednačine elipse.

Jednačina elipse može biti i u obliku

b^2{x}^2+a^2{y}^2=a^2{b}^2.

Veličine aib nazivamo poluosama elipse. Pri tom, zbog $a\ge b$ za $a$ se kaže da je velika poluosa, a $b$ mala poluosa elipse.

Rastojanje žiže od centra elipse naziva se linearni ekscentricitet, i važi c=\sqrt{a^2-b^2}

Ako tačka M(x,y) pripada elipsi, tada njoj pripadaju i tačke M₁(x,-y), M₂(-x,y) i M₃(-x,-y), tj. koordinatne ose su ose simetrije elipse, a koordinatni početak centar simetrije elipse. Tačka (0,0) je centar elipse.

Tačke A₁(-a,0), A₂(a,0), B₁(0,-b) i B₂(0,b) takođe pripadaju elipsi i nazivaju se temenima elipse.

Prave čije su jednačine x=\pm \frac{a}{e} nazivaju se direktrise elipse.

Radijus vektori tačke elipse M(x,y) su dužine

r_1=F_{1}M=a-\frac{c}{a}x, r_2=F_{2}M=a+\frac{c}{a}x,

Parametar elipse je p=\frac{b^2}{a}.

Primer 1

Neka je data jednačina elipse 3x^2+4y^2=\mathrm{12}. Odrediti poluose date elipse, žiže i numerički ekscentricitet.

Rešenje

Jednačina elipse se može napisati u obliku

$$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1.$$

Poluose su $a=2$ i b=\sqrt{3},

C=\sqrt{a^2-b^2}=1,

pa su žiže elipse F₁(-1,0) i F₂(1,0).

Ekscentricitet je e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}.

Primer 2

Na pravoj $x=-5$ odrediti tačku jednako udaljenu od "leve" žiže i "gornjeg" temena elipse.

Rešenje

Pošto tražena tačka pripada pravoj $x=-5$, apcisa tražene tačke je -5, tj. tražena tačka je oblika M(-5,y) i ostaje da se odredi njena ordinata.

Data elipsa se može zapisati u obliku

$$\frac{x^2}{\mathrm{20}}+\frac{y^2}{4}=1,$$

odakle se dobija:

$$a=\sqrt{\mathrm{20}},b=2,c=\sqrt{\mathrm{20}-4}=4,$$

pa je "leva" žiža tačka F₁(-4,0), a "gornje" teme je tačka B₂(0,2).

Tražena tačka M(-5,y) je jednako udaljena od tačaka F₁ i B₂, pa se iz jednakosti rastojanja tj. |F₁M|= |MB₂| dobija:

$$\sqrt{{\left(-5+4\right)}^2+{\left(y-0\right)}^2}=\sqrt{{\left(0+5\right)}^2+{\left(2-y\right)}^2},$$

tj. posle sređivanja ove jednakosti dobija se da je y=7 i tražena tačka M(-5,7).

Zadaci

1. Izračunati dužinu tetive elipse x^2+2y^2=\mathrm{18} koja polovi ugao između koordinatnih osa.

2. Naći dužine i jednačine radijus vektora konstruisanih iz tačke M(2, y<2) elipse 5x^2+9y^2=\mathrm{45}.

3. Na elipsi \mathrm{36}{x}^2+\mathrm{100}{y}^2=\mathrm{3600} naći tačke čije je rastojanje od desne žiže četiri puta veće od njegovog rastojanja od leve žiže.

4. U elipsu \frac{x^2}{\mathrm{49}}+\frac{y^2}{\mathrm{24}}=1 upisan je pravougaonuk tako da mu dve naspramne stranice sadrže fokuse elipse. Izračunati površinu tog pravougaonika.

5. Naći površinu četvorougla čija dva temena leže u žižama elipse x^2+5y^2=\mathrm{20}, a druga dva se poklapaju sa krajevima male ose.

6. U elipsu x^2+4y^2=\mathrm{36} upisan je kvadrat. Odrediti dužinu stranice tog kvadrata.

7. Tetiva elipse x^2+3y^2=\mathrm{36} na pravoj x-y=6 je osnova jednokrakog trougla čiji vrh pripada y-osi. Naći površinu tog trougla.

3.5. Elipsa i prava

Da bi se odredile zajedničke tačke prave $y=kx+n$ (ili x=m) i elipse \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, potrebno je rešiti sistem jednačina:

(y=kx+n⩘\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1) ili (x=m⩘\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)

U rešavanju prvog sistema eliminacijom promenljive y dolazi se do kvadratne jednačine

\left(a^2{k}^2+b^2\right)x^2+2kn{a}^{2}x+a^2{n}^2-a^2{b}^2=0,

čija je diskriminanta, kada se sredi:

4a^2{b}^2\left(a^2{k}^2+b^2-n^2\right).

S obzirom da je 4a^2{b}^2>0, odnos prave i elipse zavisi od izraza a^2{k}^2+b^2-n^2.

Ako je a^2{k}^2+b^2-n^2>0 prava y=kx+n seče elipsu u dvema različitim tačkama.

Ako je a^2{k}^2+b^2-n^2<0 prava i elipsa nemaju zajedničkih tačaka.

Ako je a^2{k}^2+b^2-n^2=0 prava ima samo jednu zajedničku tačku sa elipsom. Ta prava je tangenta elipse i tada važi uslov dodira prave i elipse:

a^2{k}^2+b^2=n^2 (18).

U slučaju tangente oblika $x=m$, njene jednačine su $x=\pm a$.

Jednačina tangente na elipsu u tački M(x₁, y₁) koja pripada elipsi ima oblik

\frac{x{x}_1}{a^2}+\frac{y{y}_1}{b^2}=1 ili b^{2}x{x}_1+a^{2}y{y}_1=a^2{b}^2 (19).

Prava kroz tačku M(x₁, y₁), normalna na tangentu je normala elipse u tački M(x₁, y₁). Ugao pod kojim prava seče elipsu je ugao koji ta prava određuje sa tangentom u presečnoj tački.

Ugao pod kojim se seku dve elipse je ugao između njihovih tangenti u jednoj presečnoj tački.

Primer 1

Odrediti jednačinu tangente na elipsu x^2+4y^2=\mathrm{20} u tački (4,1) koja pripada elipsi.

Rešenje

Jednačina tangente se može dobiti primenom formule (19) za jednačinu tangente u tački koja pripada elipsi.
Unesite potrebne podatke u GeoGebra aplet da biste dobili jednačinu tangente.

Primer 2

Odrediti jednačine tangenata konstruisnih iz tačke (7,-2) na elipsu 9x^2+\mathrm{16}{y}^2=\mathrm{144} i odrediti koordinate dodirnih tačaka.

Rešenje

Data tačka pripada tangenti iz čega se može dobiti veza između koeficijenata k i n, a zatim na osnovu uslova dodira (18) se dobijaju koeficijenti i jednačine tangenti.
Koordinate dodirnih tačaka se dobijaju rešavanjem sistema jednačina koji čine jednačina tangente i jednačina elipse.
Unesite potrebne podatke u GeoGebra aplet da biste dobili jednačinu tangenti.

Primer 3

Data je prava x+y-1=0 i elipsa 9x^2+\mathrm{16}{y}^2=\mathrm{144}. Odrediti jednačine tangenata date elipse koje su:
a) paralelne sa datom pravom;
b) normalne na datu pravu;
c) sa datom pravom grade ugao od 45° .

Rešenje

Prevođenjem u eksplicitni oblik dobija se koeficijent pravca date prave, a onda se iz uslova paralelnosti, normalnosti ili formule za ugao koji obrazuju data prava i tangenta dobija koeficijent pravca tangente. Koeficijent n se tada dobija iz uslova dodira.
U sledećem GeoGebra apletu unesite odgovarajuće podatke da biste dobili jednačine tangenti.

Zadaci

1. Naći jednačine tangenata koje datu elipsu dodiruju u datoj tački:

a)3x^2+4y^2=\mathrm{48}, A(2,-3) ;
b)2x^2+3y^2=\mathrm{21}, A(3,1);
v)x^2+3y^2=\mathrm{16}, A(2,2).

2. Odrediti jednačine tangenata na datu elipsu konstruisanih iz date tačke ako je:
a)9x^2+\mathrm{16}{y}^2=\mathrm{288}, A(12,-3);
b)\mathrm{16}{x}^2+\mathrm{25}{y}^2=\mathrm{400}, A(10,4);
v)x^2+4y^2=\mathrm{100}, A(2,7);
g)\mathrm{19}{x}^2+\mathrm{25}{y}^2=\mathrm{475}, A(10,-8);
d)9x^2+\mathrm{15}{y}^2=\mathrm{135}, A(-6,3).

3. Odrediti jednačine tangenti i normale elipse u datoj tački:
a) 3x^2+4y^2=\mathrm{12}, D(-1, y₁>0);
b) \frac{x^2}{\mathrm{50}}+\frac{y^2}{\mathrm{32}}=1, D(5, y₁<0).

4. Naći jednačine zajedničkih tangenti dveju elipsi:
a) \frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1 i \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{5}=1;
b) \frac{x^2}{6}+y^2=1 i \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1.

5. U tačkama A₁(3, y>0), A₂(4, y>0) elipse 4x^2+\mathrm{25}{y}^2=\mathrm{100} konstruisane su tangente. Izračunati površinu trougla ograničenog tim tangentama i x-osom.

6. Odrediti veliku poluosu elipse \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{\mathrm{36}}=1, ako je poznato da jedna tangenta te elipse ima jednačinu 2x+y-\mathrm{10}=0.

7. Odrediti malu poluosu elipse \frac{x^2}{\mathrm{40}}+\frac{y^2}{b^2}=1 ako je poznato da jedna tangenta ove elipse ima jednačinu 3x+2y-\mathrm{20}=0.

8. Elipsa \frac{x^2}{4}+y^2=1 i krug {\left(x-1\right)}^2+y^2=1 imaju tri zajedničke tačke A,B i C.
a) Odrediti koordinate tačaka A,B i C;
b) Naći jednačine tangenata na krug u tačkama A, B i C;
v) Izračunati površinu trougla koji obrazuju te tri tangente.

9. Odrediti uglove pod kojim se seku prava x+y-2=0 i elipsa x^2+3y^2=\mathrm{12}

10. Naći jednačinu elipse ako su poznate dve njene tangente x+y=8 i x+3y+\mathrm{16}=0.

11. Odrediti za koje vrednosti broja n prava y=-x+n:
a) seče elipsu 5x^2+\mathrm{20}{y}^2=\mathrm{100};
b) dodiruje je;
v) nema sa njom zajedničkih tačaka.

12. Pod kojim uglom se vidi elipsa x^2+2y^2=\mathrm{162} iz tačke (6,15)?

13. Odrediti jednačine zajedničkih tangenti elipse 4x^2+9y^2=\mathrm{36} i kružnice x^2+y^2=5.

3.6. Hiperbola

Hiperbola je skup svih tačaka u ravni takvih da je za svaku od njih moduo razlike rastojanja od dveju fiksiranih tačaka konstantan i različit od nule.

Slično kao kod elipse, žiže ili fokusi hiperbole obeležavaju se sa F₁(-c, 0) i F₂(c, 0). Označimo sa 2a(a>0) moduo razlike rastojanja proizvoljne tačke hiperbole od žiža F₁ i F₂.

Neka je M(x,y) proizvoljna tačka hiperbole. Tada je prema definiciji hiperbole:

$$\left|M{F}_1-M{F}_1\right|=2a.$$

Odnos \frac{c}{a} nazivamo numerički ekscentricitet hiperbole i obeležavamo sa e=\frac{c}{a}.

Uz oznaku b=\sqrt{c^2-a^2} i osobinu hiperbole da je moduo razlike rastojanja proizvoljne tačke M(x,y) od žiža hiperbole konstantan dobija se jednačina hiperbole:

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.$$

Ovakav oblik naziva se kanonski oblik jednačine hiperbole.

Jednačina hiperbole može biti data i u obliku:

$$b^2{x}^2-a^2{y}^2=a^2{b}^2.$$

Veličine $a$ i $b$ nazivamo poluosama hiperbole, i to $a$ je realna poluosa a $b$ imaginarna.

Kod hiperbole ekscentricitet je parametar c=\sqrt{a^2-b^2}

Kod hiperbole mora da važi |x|≥a iz čega sledi da u traci ograničenoj pravama $x=-a$ i $x=a$ nema tačaka koje pripadaju hiperboli. Odatle sledi da i y-osa nema zajedničkih tačaka sa hiperbolom.

Lako se proverava da tačke A₁($-a$,0) i A₂($a$,0) pripadaju hiperboli, a pošto pripadaju redom i graničnim pravama $x=-a$ i $x=a$, tačke A₁ i A₂ nazivamo temenima hiperbole.

Kao i u slučaju elipse, zajedno sa tačkom M(x,y) i tačke M₁(x,-y), M₂(-x,y) M₃(-x,-y) takođe pripadaju hiperboli. Dakle hiperbola je simetrična u osnosu na koordinatni početak (centar hiperbole).

Prave y=-\frac{b}{a}x i y=\frac{b}{a}x nazivamo asimptotama hiperbole. Osobina ovih pravih je da im se tačke hiperbole približavaju za proizvoljno velike vrednosti apcise x, kao i da se hiperbola nalazi u delu ravni koji se nalazi između asimptota hiperbole i koji sadrži x-osu.

Direktrise hiperbole su prave čije su jednačine x=\frac{a}{e} i x=-\frac{a}{e}.

Radijus vektori tačke hiperbole M(x,y) su dužine: r_1=\frac{c}{a}x-a, r_2=\frac{c}{a}x+a.

Parametar hiperbole je p=\frac{b^2}{a}.

Primer 1

Neka je data jednačina hiperbole 9x^2-4y^2=\mathrm{36}. Odrediti poluose, žiže, asimptote i numerički ekscentircitet date hiperbole.

Rešenje

Jednačina hiperbole se može napisati u obliku:

\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1.

odakle se lako uočava da su poluose a=2, b=3.

c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\mathrm{13}}, pa su žiže hiperbole F₁ (-\sqrt{\mathrm{13}}, 0) i F₂ (\sqrt{\mathrm{13}}, 0).

Za ovu hiperbolu e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{\mathrm{13}}}{2} i asimptote su y=\pm \frac{b}{a}x, tj. y=\pm \frac{3}{2}x.

Primer 2

Naći jednačinu hiperbole čije su asimptote y=\pm \frac{3}{4}x, a rastojanje između direktrisa je \frac{\mathrm{64}}{5}.

Rešenje

Poluose hiperbole se dobijaju rešavanjem sistema jednačina:

\frac{b}{a}=\frac{3}{4}\wedge \frac{2a}{e}=\frac{\mathrm{64}}{5}, tj. \frac{b}{a}=\frac{3}{4}\wedge \frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{\mathrm{32}}{5}.

Rešavanjem datog sistema dobija se da je $a=8$, $b=6$, pa jednačina tražene hiperbole glasi:

$$\frac{x^2}{\mathrm{64}}-\frac{y^2}{\mathrm{36}}=1.$$

Zadaci

1. Sastaviti jednačinu hiperbole ako je dato rastojanje između žiža 10 i realna poluosa $a=3$

2. Odrediti poluose, žiže, temena i asimptote hiperbole

a) \mathrm{16}{x}^2-\mathrm{25}{y}^2=\mathrm{400};
b) \mathrm{25}{x}^2-\mathrm{16}{y}^2=1;
v) x^2-4y^2=\mathrm{16}.

3. Napisati jednačinu hiperbole ako joj pripadaju tačke P(2,1) i Q(10,7).

4. Odrediti jednačinu hiperbole čija je žiža F(2\sqrt{3}, 0) a ugao između njenih asimptota iznosi 60°.

5. Kako glasi jednačina hiperbole:
a) ako su fokusi F₁(-10,0) i F₂(10,0), a tačka M(12,3\sqrt{5}) pripada hiperboli;
b) ako je dužina realne ose 6 i tačka M(9,-4) pripada hiperboli;
v) ako je $a=5$, a svako teme deli rastojanje između centra i žiže na 2 jednaka dela?

6. Naći dužine radijus vektora tačke P(5, y>0) na hiperboli 4x^2-5y^2=\mathrm{20}.

7. Naći ugao između asimptota hiperbole kod koje je c=a\sqrt{2}.

8. Data je hiperbola 9x^2-4y^2=\mathrm{36}. Izračunati površinu trougla čija su temena koordinatni početak, desna žiža i tačka na asimptote koja ima istu apcisu kao žiža, a pripada I kvadrantu.

3.7. Hiperbola i prava

Odnos hiperbole i prave može se posmatrati pomoću sistema jednačina: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 i y=kx+n.

U slučaju kada važi

a^2{k}^2-b^2=n^2<0

hiperbola i prava imaju dve zajedničke tačke.

U slučaju a^2{k}^2-b^2-n^2>0 hiperbola i prava nemaju zajedničkih tačaka.

Prava y=kx+n je tangenta hiperbole, tj. sa njom ima tačno jednu zajedničku tačku ako je:

a^2{k}^2-b^2=n^2 (20) i $n\ne 0$.

Jednakost (20) je uslov dodira prave i hiperbole. Prava $x=m$ može biti tangenta hiperbole u slučaju m=±a, odnosno jednačine tangente su tada $x=\pm a$.

Jednačina tangente hiperbole u tački dodira M(x₁, y₁) ima oblik:

\frac{x{x}_1}{a^2}-\frac{y{y}_1}{b^2}=1 ili b^{2}x{x}_1-a^{2}y{y}_1=a^2{b}^2 (21).

Prava koja sadrži tačku M hiperbole, a normalna je na tangentu u toj tački, predstavlja normalu hiperbole.

Ugao pod kojim prava seče hiperbolu određuje se kao ugao između te prave i tangente u presečnoj tački.

Ugao pod kojim neka kriva seče hiperbolu je ugao između njihovih tangenti u jednoj presečnoj tački.

Primer 1

Odrediti jednačinu tangente hiperbole 9x^2-y^2=\mathrm{144} u tački (-5,-9) koja pripada hiperboli.

Rešenje

Jednačina tangente se može dobiti primenom formule (21) za jednačinu tangente u tački koja pripada hiperboli.
Unesite potrebne podatke u GeoGebra aplet da biste dobili jednačinu tangente.

Primer 2

Odrediti jednačine tangenti konstruisanih iz tačke (-3,5) na hiperbolu 3x^2-y^2=3 i odredi koordinate dodirnih tačaka.

Rešenje

Data tačka pripada tangenti iz čega se može dobiti veza između koeficijenata k i n, a zatim na osnovu uslova dodira (20) se dobijaju koeficijenti i jednačine tangenti.
Koordinate dodirnih tačaka se dobijaju rešavanjem sistema jednačina koji čine jednačina tangente i jednačina hiperbole.
Unesite potrebne podatke u GeoGebra aplet da biste dobili jednačinu tangenti.

Primer 3

Data je prava x+y-7=0 i hiperbola 2x^2-5y^2=\mathrm{30}. Odrediti jednačine tangenata date hiperbole koje su:
a) paralelne sa datom pravom;
b) normalne na datu pravu;
v) sa datom pravom grade ugao od 30°.

Prevođenjem u eksplicitni oblik dobija se koeficijent pravca date prave, a onda se iz uslova paralelnosti, normalnosti ili formule za ugao koji obrazuju data prava i tangenta dobija koeficijent pravca tangente. Koeficijent n se tada dobija iz uslova dodira (20).
U sledećem GeoGebra apletu unesite odgovarajuće podatke da biste dobili jednačine tangenti.

Zadaci

1. Odrediti jednačine tangenti konstruisanih iz date tačke na datu hiperbolu:
a) A(1,0), 2x^2-9y^2=\mathrm{18};
b) B(0,3), x^2-y^2=9;
c) C(-3,5), 3x^2-y^2=3;
d) D(2,0), \frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{9}=1.

2. Odrediti jednačinu tangente date hiperbole u tački, ako je:
a) x^2-4y^2=\mathrm{64}, D(10, y₁>0);
b) 9x^2-y^2=\mathrm{144}, D(x₁<0,-9);
v) \frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1, D(5, y₁<0);
g) \frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{4}=1, D(4,2);

3. Odrediti jednačinu tangente hiperbole \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{\mathrm{16}}=1 koja se nalazi na jednakom rastojanju od centra i desne žiže.

4. Kolike su poluose hiperbole x^2-4y^2=c ako je prava x-y\sqrt{3}-2=0 tangenta te hiperbole? Zatim odrediti površinu trougla određenog tangentom i normalom u dodirnoj tački D i x-osom?

5. Naći jednačinu hiperbole \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1, ako su njene asiptote y=\pm \frac{1}{2}x i ako je jedna njena tangenta 5x-6y-8=0.

6. U tački D\left(-\frac{5}{3},y>0\right) konstruisana je tangenta elipse 4x^2+5y^2=\mathrm{20}. Ova prava određuje tetivu hiperbole 4x^2-y^2=\mathrm{36}. Kolika je dužina te tetive?

3.8. Parabola

Parabola je skup svih tačaka u ravni takvih da je svaka od njih jednako udaljena od jedne date tačke i date prave (koja ne sadrži datu tačku).

Datu tačku označićemo sa F i zvati žižom (fokusom) parabole, a pravu ćemo označiti sa d i zvati direktrisom parabole. Tada su F(\frac{p}{2},0) i d: x=\frac{p}{2}.

Neka je M(x,y) proizvoljna tačka parabole. Tada za apcisu mora da važi x ≥0.

Iz osobine parabole da je proizvoljna tačka podjednako udaljena od žiže i direktrise, tj. rešavanjem sledeće jednačine:

\sqrt{{(x-\frac{p}{2})}^2+y^2}=\frac{p}{2}+x

dobija se jednačina parabole:

y^2=2px.

Ova jednačina se zove jednačina parabole u kanonskom obliku.

Rastojanje p između žiže i direktrise naziva se parametar parabole.

Ako tačka M(x₁,y) pripada paraboli, tada i tačka M₁(x, -y) pripada paraboli. Dakle, x-osa (tj. prava koja sadrži žižu F i normalna je na direktrisu d) je osa simetrije parabole.

Tačku O(0,0) koja pripada paraboli, nazivamo temenom parabole.

Primer 1

Na paraboli y^2=\mathrm{12}x odredimo tačku najbližu pravoj l:x-y+7=0.

Rešenje

Rastojanje proizvoljne tačke M(x,y) parabole od prave l dato je formulom:

d(M,l)=\frac{|x-y+7|}{\sqrt{2}},

a pošto tačka M pripada paraboli važi y^2=\mathrm{12}x, pa je rastojanje:

d(M,l)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left|\frac{y^2}{\mathrm{12}}-y+7\right|= \frac{1}{\mathrm{12}\sqrt{2}}\left|y^2-\mathrm{12}y+\mathrm{84}\right|.

Poslednji trinom dostiže minimum 2\sqrt{2} za y=-\frac{-\mathrm{12}}{2}=6. Iz jednačine y^2=\mathrm{12}x dobija se $x=3$, pa je tražena tačka M(3,6).

Primer 2

Naći koordinate presečnih datih krivih:

a) elipse \frac{x^2}{\mathrm{100}}+\frac{y^2}{\mathrm{225}}=1 i parabole y^2=\mathrm{24}x;

a) hiperbole \frac{x^2}{\mathrm{20}}-\frac{y^2}{5}=1 i parabole y^2=3x.

Rešenje

Koordinate presečnih tačaka dobijaju se rešavanjem sistema jednačina datih krivih. A presečne tačke mogu se dobiti i unošenjem jednačina datih krivih u predviđena polja u GeoGebra apletu.

Zadaci

1. Naći jednačinu parabole ako su date žiža F(3,0) i direktrisa $x=-3$.
2. Naći dužinu radijus vektora tačke M date parabole:
a) M(7,y), y^2=\mathrm{20}x;
b) M(x,6), y^2=\mathrm{12}x.
3. Naći presečne tačke prave i parabole:
a) 3x+4y-\mathrm{12}=0, y^2=-9x;
b) 3x-2y+6=0, y^2=6x.
4. Prava 2x-y-4=0 seče parabolu y^2=4x u tačkama A i B. Izračunati površinu trougla OAB.

3.9. Parabola i prava

Odnos prave y=kx+n (ili $x=m$) i parabole y^2=2px dobija se ispitivanjem sistema jednačina (y=kx+n\wedge y^2=2px) ili (x=m\wedge y^2=2px).

Rešavanjem prvog sistema, zamenom y iz prve jednačine u drugu, dobija se kvadratna jednačina:

$$k^2{x}^2+2(kn-px+n^2)=0$$,

sa diskriminantom: $$4{(kn-p)}^2-4k^2{n}^2$$, tj. $$4p(p-2kn).$$

Kako je p>0, na osnovu poznatih svojstava kvadratne jednačine zaključujemo:

a) ako je p-2kn>0 postoje dva različita rešenja, x₁ i x₂, date jednačine. To su apcise tačaka M₁ i M₂ u kojima prava seče parabolu;

b) ako je p-2kn<0, data kvadratna jednačina nema realnih rešenja, pa prava i parabola nemaju zajedničkih tačaka;

c) ako je p-2kn=0, postoji jedno rešenje kvadratne jednačine i to je apcisa tačke M u kojoj prava dodiruje parabolu, tj. prava je tangenta parabole u tački M.

Uslov dodira prave y=kx+n i parabole y^2=2px je:

p=2kn. (22)

Ukoliko je tangenta parabole oblika $x=m$, tada je jednačina tangente $x=0$.

Jednačina tangente na parabolu u tački dodira M(x₁,y₁) ima oblik:

y{y}_1=p(x+x_1) (23).

Ugao pod kojim neka prava seče parabolu je ugao između te prave i tangente parabole u presečnoj tački.

Primer 1

Odrediti jednačinu tangente na parabolu y^2=\mathrm{16}x u tački dodira M(1,4).

Rešenje

Jednačinu tangente dobijamo primenjujući formulu (23) za tangentu u tački koja pripada paraboli.

Rešenje se može dobiti i unošenjem odgovarajućih podataka u dati GeoGebra aplet.

Primer 2

Odrediti jednačine tangenata parabole y^2=8x konstruisanih iz tačke P(5, -7)

Rešenje

Data tačka pripada paraboli iz čega se može dobiti veza između koeficijenata $k$ i $n$, a zatim na uslovu dodira (22) se dobijaju koeficijenti i jednačine tangenata. Koordinate dodirnih tačaka se dobijaju rešavanjem sistema jednačina koji čine jednačina tangente i jednačina parabole.

Rešenje možemo dobiti i uz pomoć GeoGebra apleta unošenjem potrebnih podataka.

Primer 3

Data je prava x-y+5=0 i parabola y^2=\mathrm{12}x. Odrediti jednačine tangenata date parabole koje su:
a) paralelne sa datom pravom;
b) normalne na datu pravu.

Rešenje

Prevođenjem u eksplicitni oblik dobija se koeficijent pravca date prave, a onda se iz uslova paralelnosti ili normalnosti dobija koeficijent pravca tangente. Koeficijent $n$ se tada dobija iz uslova dodira (22).

Rešenja se mogu dobiti i uz pomoć GeoGebra apleta unošenjem potrebnih podataka.

Zadaci

1. Odrediti jednačinu tangente parabole y^2=8x konstruisanu iz tačke (-4,2).
2. Odrediti jednačinu tangente parabole y^2=4x u tački M(1,2) koja pripada paraboli.
3. Date su hiperbola 3x^2-y^2=\mathrm{12} i parabola y^2=\mathrm{16}x. Odrediti presečne tačke krivih i ugao pod kojim se seku.
4. Odrediti jednačinu tangente parabole y^2=9x koja je paralelna pravoj 3x+2y-4=0.
5. Odrediti jednačinu tangente parabole y^2=3x. koja je normalna na pravu 2x-3y-4=0.
6. Odrediti površinu trougla ograničenog x-osom, tangentom i normalom parabole y^2=\mathrm{16}x u tački M(1,4).
7. Odrediti jednačine zajedničkih tangenti elipse \frac{x^2}{\mathrm{45}}+\frac{y^2}{\mathrm{20}}=1 i parabole y^2=\frac{\mathrm{20}}{3}x.