Analitička geometrija u ravni za treći razred srednje škole

Skup tačaka (x,y) u koordinatnoj ravni, kojem odgovara linearna jednačina po x i y je prava.

Svaka prava je jednoznačno određena dvema različitim tačkama.

Postoje razni oblici prave.

2.1. Implicitni oblik
2.2. Eksplicitni oblik
2.3. Segmentni oblik
2.4. Normalni oblik
2.5. Jednačina prave kroz datu tačku
2.6. Jednačina prave kroz dve tačke

2.1. Implicitni oblik

Opšti(implicitni) oblik prave je:

$A x + B y + C = 0 (4)$ ,

pri čemu je $A \neq 0$ ili $B \neq 0$ .

Primer

Data je prava $2 x - y - 4 = 0$ . Ispitaj koje od sledećih tačaka pripadaju datoj pravoj: A(1,2), B(2,0), C(0,3), D(-2,5), F(-3,-2).

Rešenje

Da li tačka pripada pravoj proveravamo tako što koordinate tačke zamenimo u jednačinu prave (4) i ukoliko se dobije tačna jednakost tačka pripada pravoj.

U GeoGebra apletu unesite koeficijente koji određuju pravu i datu tačku da biste proverili da li tačka pripada pravoj.

2.2. Eksplicitni oblik

Eksplicitni oblik jednačine prave je:

$y = k x + n, (5)$

gde je k koeficijent pravca prave, a n je odsečak na z-osi. Za koeficijent k važi da je $k = tg α$ , gde je α ugao koji data prava gradi sa pozitivnim delom x-ose.

Ako se koeficijenti k i n posmatraju kao $k = - \frac{A}{B}$ i $n = - \frac{C}{B}$ , lako se iz implicitnog oblika prave prelazi u eksplicitni oblik.

Primer

Pravu $7 x + 3 y + 23 = 0$ prebaciti u eksplicitni oblik i naći koeficijente k i n.

Rešenje

Iz implicitnog oblika prave se dobija da je A=7, B=3 i C=23. Pomoću datih formula za koeficijente k i n, $k = - \frac{A}{B}$ i $n = - \frac{C}{B}$ dobija se da je $k = - \frac{7}{3}$ i $n = - \frac{23}{3}$ . Data prava u eksplicitnom obliku ima jednačinu

y = - \frac{7}{3} x + - \frac{23}{3}

Zadaci

1. Odrediti vrednost realnog parametra m≠0 tako da:
a) prava čija je jednačina $4 x - m y - 7 = 0$ ima koeficijent pravca $k = 3$ ;
b) prava čija je jednačina $m x - y - 3 m + 6 = 0$ odseca na y-osi odsečak n=5.

2. Odrediti jednačinu prave koja odseca na y-osi odsečak dužine 6, a sa pozitivnim delom x-ose gradi ugao $\frac{π}{4}$ .

3. Odrediti uglove koje date prave zaklapaju sa pozitivnim delom x-ose:
a) $y = x + 3$ ;
b) $2 x + 2 y - 5 = 0$ ;
c) $x + y \sqrt{3} - 2 = 0$ ;
d) $3 x - y \sqrt{3} + 2 = 0$ .

2.3. Segmentni oblik

Segmentni oblik jednačine prave je:

$\frac{x}{m} + \frac{y}{n} = 1 (m \neq 0, n \neq 0) (6)$ ,

gde je m odsečak na x-osi, a n odsečak na y-osi. Ako se u datoj jednačini zameni x=0 dobija se y=n i obrnuto, za y=0 se dobija x=m. Data prava prolazi kroz tačke (0,n) i (m,0). Svaka prava koja nije paralelna nekoj od koordinatnih osa semože napisati u segmentnom obliku.

Primer

Napisati jednačinu prave u implicitnom obliku, ako ona na x-osi i y-osi odseca redom odsečke dužina 5 i 3.

Rešenje

m = 5, n = 3,

\frac{x}{m} + \frac{y}{n} = 1

\frac{x}{5} + \frac{y}{3} = 1

3 x + 5 y - 15 = 0 .

Zadaci

1. Odrediti segmentni oblik jednačine prave:
a) $x + 2 y - 2 = 0$ ;
b) $2 x - 3 y + 6 = 0$ ;
v) $x + 3 y - 3 = 0$ ;
g) $4 x + y - 4 = 0$ .

2. Odrediti m tako da:
a) odsečak prave $m x + 4 y - 8 = 0$ na x-osi bude 4;
b) odsečci prave $3 x + 2 m y - 6 = 0$ na koordinatnim osama budu jednaki;
v) odsečak prave $3 x + m y - 12 = 0$ između koordinatnih osa bude 5.

3. Za koje vrednosti m i n prava $(m - 3 n - 2) x + (2 m + 4 n - 1) y = 3 m - n + 2$ odseca na x-osi odsečak 3, a na y-osi odsečak -2?

2.4. Normalni oblik

Neka je data prava u segmentnom obliku:

$\frac{x}{m} + \frac{y}{n} = 1$ ,

koja seče koordinatne ose u tačkama M(m,0) i N(0,n). Konstruišimo normalu iz koordinatnog početka na datu pravu, koja je seče u tački P i označimo sa p rastojanje od koordinatnog početka do date prave.

Ako sa φ označimo ugao MOP, tada je:

$\cos φ = \frac{p}{m}, \sin φ = \frac{p}{n},$ tj. $m = \frac{p}{\cos φ}, n = \frac{p}{\sin φ},$ pa jednačina dobija normalni oblik: $x \cos φ + y \sin φ = p . (7)$

Jednačina se iz opšteg oblika $A x + B y + C = 0$ prevodi u normalni oblik sledećom formulom:

$\frac{A x + B y + C}{(- sgnC) \sqrt{A^{2} + B^{2}}} = 0,$ gde je sgn C znak koeficijenta C.

Primer

Svesti jednačinu prave $4 x - 3 y + 5 = 0$ na normalni oblik.

Rešenje

C=5>0 pa je normalni oblik date prave: $\frac{4 x - 3 y + 5}{- \sqrt{4^{2} + 3^{2}}} = 0,$ tj. $- \frac{4}{5} x + \frac{3}{5} y - 1 = 0 .$

Ovde je dužina normale p=1, a ugao φ je određen sa $\cos φ = - \frac{4}{5}, \sin φ = - \frac{3}{5} .$

Zadaci

1. Date jednačine pravih svesti na normalni oblik:
a) $5 x - 12 y + 26 = 0$ ;
b) $4 x + 3 y - 5 = 0$ ;
v) $6 x - 8 y + 15 = 0$ .

2. Koristeći normalni oblik jednačine prave, izračunati rastojanje od koordinatnog početka do date prave:
a) $3 x + 4 y - 10 = 0$ ;
b) $x + y + 4 = 0$ ;
v) $2 x + y - 5 = 0$ .

2.5. Jednačina prave kroz datu tačku

Jednačina prave kroz datu tačku A(x₁,y₁) ima sledeći oblik:

$y - y_{1} = k (x - x_{1}) (8)$ .

Poznavanje koeficijenta pravca k potpuno određuje pravu kroz datu tačku A.

S obzirom da formulom (8) nisu obuhvaćene prave koje su oblika x=x₁, tj. koje su paralelne y-osi, jednačina svake prave određene tačkom A(x₁,y₁) može se dobiti primenom formule: $A (x - x_{1}) + B (y - y_{1}) = 0 .$

Primer

Odrediti jednačinu prave koja sadrži tačku (-3,0) i sa pozitivnim delom x-ose zaklapa ugao $\frac{2 π}{3}$ .

Rešenje

Jednačina prave koja prolazi kroz tačku (-3,0) glasi: $y = k (x + 3) .$

Kako je $k = tg \frac{2 π}{3} = - \sqrt{3},$ jednačina tražene prave je: $y = - \sqrt{3} (x + 3),$ tj. $x \sqrt{3} + y + 3 \sqrt{3} = 0 .$

Zadaci

1. Napisati jednačinu prave koja sadrži tačku A, a sa pozitivnim delom x-ose gradi ugao φ, ako je:
a) A(3,2), $φ = \frac{π}{4}$ ;
b) A(-4,-1), $φ = \frac{3 π}{4}$ .

2. Odrediti jednačinu prave koja:
a) prolazi kroz tačku A(2,3) i ima koeficijent pravca k=3;
b) prolazi kroz koordinatni početak i ima koeficijent pravca k=2;
v) je simetrala prvog i trećeg kvadranta;
g) prolazi kroz koordinatni početak i sa pozitivnim delom x-ose obrazuje ugao od $\frac{π}{6}$ .

2.6. Jednačina prave kroz dve tačke

Jednačina prave kroz dve tačke A(x₁,y₁) i B(x₂,y₂) ima oblik:

$y - y_{1} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} (x - x_{1}) . (9)$

Formulom (9) nisu obuhvaćene prave koje su paralelne x-osi (tj. x₁=x₂).

Primer

Temena trougla su A(2,5), B(4,1) i C(3,-1). Odredi jednačine pravih koje sadrže stranice ovog trougla.

Rešenje

Primenom formule odrediti stranice kao prave kroz dve tačke, a zatim rešenje proveriti u GeoGebra apletu.

Zadaci

1. Odrediti jednačinu prave koja sadrži presečnu tačku pravih $x + 7 y - 12 = 0$ i $2 x - y + 6 = 0$ i tačku A(8,-4).

2. Napisati jednačine dijagonala četvorougla ABCD ako su njegova temena A(-4,-5), B(7,6), C(3,8) i D(-2,3).

3. Odrediti jednačine težišnih linija trougla čija su temena A(-1,6), B(5,3) i C(-5,-2).

4. Data su dva temena trougla A(-4,-5) i B(-2,3), a teme C pripada pravoj $x + y - 11 = 0$ . Odrediti koordinate temena C, tako da površina trougla ABC bude 15.

2.7. Uzajamni položaj pravih

Uzajamni položaj pravih $y = k_{1} x + n_{1}$ i $y = k_{2} x + n_{2}$ $(A_{1} x + B_{1} y + C_{1} = 0$ i $A_{2} x + B_{2} y + C_{2} = 0)$ se ispituje određujući njihove zajedničke tačke (ukoliko postoje).

Dve prave mogu da budu paralelne, da se poklapaju ili da se seku. Ukoliko se seku pod pravim uglom, tada su one normalne.

Neka je φ oštar ugao između dve date prave. Tada važi:

$tg φ = | \frac{k_{2} - k_{1}}{1 + k_{1} k_{2}} | . (10)$

Za dve paralelne prave važi:

$k_{1} = k_{2} (11)$

ako su one date u eksplicitnom obliku, ili

$A_{1} B_{2} = A_{2} B_{1}$

ako su jednačine date u implicitnom obliku.

Ako je $k_{1} = k_{2}$ i $n_{1} = n_{2},$ odnosno $\frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{B_{1}}{B_{2}} = \frac{C_{1}}{C_{2}},$ reč je o istoj pravoj (koja je takođe paralelna samoj sebi), i tada se dve date prave poklapaju.

Za dve normalne prave $y = k_{1} x + n_{1}$ i $y = k_{2} x + n_{2}$ važi:

$1 + k_{1} k_{2} = 0 . (12)$

Primer 1

Naći jednačinu prave koja sadrži presečnu tačku pravih $2 x + 3 y - 7 = 0$ i:
a) paralelna je sa pravom $2 x + y + 4 = 0$ ;
b) normalna je na pravu $x - y + 7 = 0$ .

Rešenje

Prvo je potrebno pronaći presečnu tačku pravih. Rešavanjem sistema jednačina $2 x + 3 y - 7 = 0$ i $x + 2 y - 5 = 0$ dobija se da je presečna tačka A(-1,3).
a) Pošto je tražena prava paralelna sa pravom $2 x + y + 4 = 0$ treba odrediti koeficijent pravca k date prave:

$y = - 2 x + 4, k = - 2$

Dakle, koeficijent pravca tražene prave je takođe k=-2, iz uslova paralelnosti (11).
Sada treba odrediti jednačinu prave čiji je koeficijent pravca k=-2 i sadrži tačku A(-1,3).

$y - y_{1} = k (x - x_{1}),$ $y - 3 = 2 (x + 1),$

odakle je jednačina tražene prave $2 x + y - 1 = 0 .$

b) Koeficijent pravca tražene prave treba odrediti iz uslova normalnosti, koristeći da je koeficijent pravca date prave k₁=1. Iz uslova normalnosti (12), dobija se 1+k₂ =0, tj. k₂=-1. Tražena prava ima koeficijent pravca k=-1 i sadrži tačku A(-1,3), pa je njena jednačina

$y - 3 = - 1 (x + 1),$

tj.

$x + y - 2 = 0 .$

Primer 2

Odrediti jednačinu prave koja prolazi kroz tačku M(1,3) i obrazuje sa pravom $3 x + 5 y + 1 = 0$ oštar ugao tako da je $tg φ = \frac{4}{7} .$

Rešenje

Na osnovu formule (10) za tangens ugla između dve dve prave treba odrediti koeficijent pravca tražene prave, a zatim na osnovu koeficijenta pravca i tačke M dobija se jednačina tražene prave.

$3 x + 5 y + 1 = 0$ ,

$5 y = - 3 x - 1$ ,

$y = - \frac{3}{5} x - \frac{1}{5}$ ,

odakle se dobija da je $k_{1} = - \frac{3}{5}$ . Koeficijenti pravca tražene prave su $k = - \frac{1}{47}$ ili $k = - \frac{41}{23}$ . Koristeći formulu za jednačinu prave kroz datu tačku dobija se da su tražene prave $x + 47 y - 142 = 0$ i $41 x + 23 y - 110 = 0$ .

Zadaci

1. Naći ugao između pravih:
a) $3 x - y = 0$ i $2 x + y - 5 = 0$ ;
b) $4 x - y - 7 = 0$ i $x + 4 y - 8 = 0$ ;
v) $5 x - 3 = 0$ i $5 x - y + 7 = 0$ .
2. Izračunati uglove trougla ABC ako su temena trougla A(3,7), B(5,1) i C(1,3).
3. Odrediti jednačinu simetrale duži AB, ako je:
a) A(1,-4) i B(3,2);
b) A(-5,-2) i B(1,4).
4. Dokazati da je trougao koji obrazuju prave $3 x - y - 1 = 0, x - 7 y - 7 = 0 x + y - 7 = 0$ jednokraki.

2.8. Pramen pravih

Skup svih pravih u ravni koje prolaze kroz tačku S(x₀,y₀) naziva se pramen pravih. Tačka S se naziva centar pramena.
Ako su A₁x + B₁y + C₁ = 0 i A₂x + B₂y + C₂ = 0 jednačine dve prave koje se seku u tački S, tada jednačina:

α (A_{1} x + B_{1} y + C_{1}) + β (A_{2} x + B_{2} y + C_{2}) = 0, (α, β) \neq (0, 0)

predstavlja jednačinu pramena pravih sa centrom S. Ako za α≠0 stavimo $λ = \frac{β}{α}$ , dobija se jednačina:

A_{1} x + B_{1} y + C_{1} + λ (A_{2} x + B_{2} y + C_{2}) = 0,

koja predstavlja sve prave pramena kroz S, osim prave A₂x + B₂y + C₂ = 0.

Primer

Proveriti da li prava 7x + 2y - 15 = 0 pripada pramenu 5x + 3y + 6 + λ ( 3x - 4y - 37 ) = 0.

Rešenje

Jednačinu pramena se može napisati u obliku:

( 5 + 3 λ ) x + ( 3 - 4 λ ) y + ( 6 - 37 λ ) = 0.

Data prava pripada pramenu ako postoji λ tako da važi:

$\frac{5 + 3 λ}{7} = \frac{3 - 4 λ}{2} = \frac{6 - 37 λ}{- 15}$ .

Ovo je sistem od dve jednačine sa jednom nepoznatom koji nema rešenje, iz čega zaključujemo da prava ne pripada datom pramenu pravih.

Zadaci

1. Odrediti simetrale uglova koji su određeni pravama x - 3y + 1 = 0 i 2x + y + 3 = 0.
2. Odrediti jednačinu prave koja prolazi kroz presek pravih 3x + 4y - 4 = 0 i 9x + 5y + 4 = 0 i ima koeficijent pravca $\frac{9}{4}$ .
3. Dat je pramen pravih 2x + 5y + 4 + λ ( 3x - 2y + 25 ) = 0. Naći onu pravu tog pramena koja odseca na koordinatnim osama odsečke iste veličine.
4. U pramenu pravih određenim pravama 2x - 3y + 6 = 0 i 5x - 4y + 1 = 0 odrediti onu koja:
a) prolazi kroz tačku (-4,-5);
b) je normalna na pravu 2x - y + 4 = 0;
v) seče pravu 2x - y + 4 = 0 pod uglom od $\frac{π}{4}$ .

2.9. Rastojanje između tačke i prave

Rastojanje tačke M(x₀,y₀) od prave Ax + By + C = 0 se može izračunati sledećom formulom:

$d = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C |}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} .$

Primer

Odrediti jednačinu prave koja je podjednako udaljena od paralelnih pravih 3x + 5y + 4 = 0 i 3x + 5y - 1 = 0.

Rešenje

Ako je M(x,y) proizvoljna tačka tražene prave, tada je ona podjednako udaljena od datih pravih i važi:

$\frac{| 3 x + 5 y + 4 |}{\sqrt{3^{2} + 5^{2}}} = \frac{| 3 x + 5 y - 1 |}{\sqrt{3^{2} + 5^{2}}},$

odakle se dobija 3x + 5y + 4 = ± ( 3x + 5y - 1 ) . Pošto mogućnost 3x + 5y + 4 = + ( 3x + 5y - 1 ) dovodi do apsurda ( 4 = - 1 ) , ostaje da je jednačina tražene prave 3x + 5y + 4 = - ( 3x + 5y - 1 ) ili 6x + 10y + 5 = 0.

Zadaci

1. Odrediti m tako da je prava y = mx + 5 udaljena od koordinatnog početka za $d = \sqrt{5} .$
2. Ako su temena trougla A(3,6), B(-1,3) i C(2,-1) odrediti dužine njegovih visina.
3. Odrediti jednačinu prave koja je paralelna pravama 4x - 6y - 3 = 0 i 2x - 3y + 7 = 0 i jednako udaljena od njih.
4. Date su prave 24x - 10y + 39 = 0 i 12x - 5y - 26 = 0 kojima pripadaju paralelne stranice kvadrata. Odrediti površinu kvadrata.
5. Simetrala ugla ima jednačinu x - 7y + 21 = 0, a jedan krak je 4x - 3y + 9 = 0. Napisati jednačinu drugog kraka.

2. Prava

2.1. Implicitni oblik

Primer

Rešenje

2.2. Eksplicitni oblik

Primer

Rešenje

Zadaci

2.3. Segmentni oblik

Primer

Rešenje

Zadaci

2.4. Normalni oblik

Primer

Rešenje

Zadaci

2.5. Jednačina prave kroz datu tačku

Primer

Rešenje

Zadaci

2.6. Jednačina prave kroz dve tačke

Primer

Rešenje

Zadaci

2.7. Uzajamni položaj pravih

Primer 1

Rešenje

Primer 2

Rešenje

Zadaci

2.8. Pramen pravih

Primer

Rešenje

Zadaci

2.9. Rastojanje između tačke i prave

Primer

Rešenje

Zadaci